Такая поверхность безгранична, однако, чтобы её начертить, изо-бражают ограниченную часть её, чаще всего часть, ограниченную прямоугольником так, как это сделано на чертежах 2 и следующих.
Согласно предыдущему определению, прямая может занимать относительно плоскости три различных положения:
1) Она может иметь с ней две общие точки и, следовательно, лежать в ней целиком; в этом случае говорят также, что плоскость проходит через прямую.
2) Она может иметь с ней одну общую точку; в этом случае говорят, что прямая пересекает плоскость.
3) Наконец, плоскость и прямая могут не иметь ни одной общей точки; в этом случае говорят, что они параллельны.
Принимают, что всякая плоскость делит пространство на две области, расположенные соответственно по обе стороны от этой плоскости. Нельзя перейти из одной из этих областей в другую, не пересекая плоскости. В частности, всякая прямая, которая соединяет две точки, лежащие по разные стороны от плоскости, пересекает плоскость.
Обратно, принимают, что всякая прямая, которая пересекает плоскость, делится точкой пересечения на две полупрямые, расположенные по одну и по другую стороны от плоскости.
Из определения плоскости следует ещё, что всякая фигура, равная плоскости, есть плоскость.
Обратно, принимают, что какие-либо плоскости могут быть совмещены и притом таким образом, что какая-либо данная полупрямая первой плоскости совмещается с какой-либо данной полупрямой второй (причём их начальные точки также совмещаются).
Мы приняли (Аксиомы стереометрии) следующую аксиому: Через всякие три точки пространства проходит плоскость.
Мы дополним эту аксиому следующей теоремой:
Теорема 1. Через три точки, не лежащие на одной прямой, проходит только одна плоскость.
Пусть А, В и С — три точки, не лежащие на одной прямой; предположим, что через эти три точки проходят две плоскости Р и Р'. Я утверждаю, что плоскости Р и Р' совпадают. Заметим, прежде всего, что эти две плоскости имеют согласно определению общие прямые АВ, АС и ВС.
Пусть теперь М — какая-либо точка плоскости Р. Через эту точку (черт. 1) мы можем провести прямую, которая пересечёт прямую АВ в точке D, а прямую АС в точке Е. Точки D и Е лежат в плоскости Р', следовательно, и вся прямая DE лежит в плоскости Р', поэтому и точка М лежит в плоскости Р'. Таким образом, любая точка плоскости Р лежит в плоскости Р'; а так как можно тем же путём доказать, что любая точка плоскости Р' лежит в плоскости Р, то теорема доказана.
Аксиому и теорему, приведённые в начале этого пункта, объединяют, говоря:
Теорема 2. Три точки пространства, не лежащие на одной прямой, определяют плоскость.
Теорема 3. Прямая АВ и точка С вне её определяют плоскость.
Действительно, требование, чтобы плоскость проходила через прямую АВ и точку С, и требование, чтобы плоскость проходила через три точки А, В и С, сводятся одно к другому.
Теорема 4. Две пересекающиеся прямые определяют плоскость и притом только одну.
Две пересекающиеся прямые АВ и АС определяют плоскость, а именно ту, которая определяется точками А, В и С.
Определение 2. Две прямые в пространстве называют параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются.
Теорема 5. Две параллельные прямые определяют плоскость и притом только одну.
Согласно второму определению существует плоскость, кторая содержит обе прямые и, с другой стороны, — эта плоскость единственная, так как она проходит через одну из прямых и через одну из точек другой прямой (сравнить предыдущий абзац).
В согласии с этим плоскость можно обозначать одной буквой, тремя буквами, соответствующими трём точкам, не лежащим на одной прямой, и, наконец, буквами, обозначающими прямую и точку или две прямые, лежащие в этой плоскости (пересекающиеся или параллельные).
Примечание. Отсюда видно, что через данную прямую D проходит бесчисленное множество плоскостей; в самом деле, через эту прямую и какую-либо точку пространства можно провести одну плоскость; через прямую D и точку, не лежащую в первой плоскости, можно провести вторую и т. д.
Примечание. Если фигура, состоящая более чем из одной точки, обладает тем свойством, что прямая, соединяющая две ее точки, целиком принадлежит этой фигуре, то данная фигура или будет прямой линией, или будет плоскостью, или будет состоять из всех точек пространства.
Действительно, рассматриваемая фигура содержит, по условию, по крайней мере, две точки А и B и, следовательно, прямую АВ. Если она содержит только эту прямую, то теорема доказана.
В противном случае пусть С — какая-либо точка фигуры, не лежащая на прямой АВ, достаточно повторить доказательство теоремы, приведённой в предыдущем пункте, чтобы убедиться, что всякая точка плоскости ABC принадлежит данной фигуре. Если фигура не содержит никакой другой точки, то теорема доказана. В противном случае пусть D — какая-либо точка фигуры, лежащая вне плоскости ABC (черт. 2). Рассматриваемая фигура содержит любую точку Е, лежащую с точкой D по разные стороны от плоскости ABC: действительно, прямая DE непременно пересечёт плоскость в некоторой точке I и, следовательно, целиком принадлежит данной фигуре, так как она соединяет две точки D и I, принадлежащие данной фигуре. Но на том же основании фигура содержит любую точку F, лежащую с точкой Е по разные стороны от плоскости ABC, другими словами, по ту же сторону от плоскости, где лежит точка D.
Таким образом, фигура содержит все точки пространства.Аксиома, приведённая в планиметрии: через точку, взятую вне прямой, можно провести только одну прямую, параллельную данной прямой, сохраняет силу и в геометрии пространства. Действительно, прямая, проведённая через точку С параллельно прямой АВ, лежит в плоскости ABC, и в этой плоскости можно применить указанную выше аксиому.
Таким образом мы можем, как и в планиметрии, говорить о той прямой, которая параллельна данной прямой и проходит через данную точку, лежащую вне этой прямой.
Точно так же из точки С, лежащей вне прямой АВ, можно опустить на эту прямую перпендикуляр и притом только один, так как этот перпендикуляр должен лежать в плоскости ABC, а для плоскости теорема доказана.
Напротив, через точку, взятую на прямой, можно провести к этой прямой бесчисленное множество перпендикуляров, а именно по одному перпендикуляру в каждой из плоскостей, проходящих через эту прямую (черт. 3).
Отсюда следует, что две прямые могут быть перпендикулярны к одной и той же прямой, не будучи параллельными между собой.
Плоскость ABC можно рассматривать как образованную прямой, которая перемещается, проходя постоянно через точку С и опираясь на прямую АВ.
Действительно, такая прямая остаётся всё время в плоскости ABC, и, с другой стороны, её можно заставить проходить через любую точку плоскости, за исключением точек, лежащих на прямой, проходящей через точку С и параллельной АВ.Точно так же прямая XY, которая перемещается, оставаясь параллельной своему первоначальному положению АС (черт. 4) и пересекая данную прямую АВ, образует плоскость ABC, или иначе, геометрическое место прямой линии, которая перемещается, оставаясь параллельной своему первоначальному положению и опираясь на данную прямую (предполагается, что перемещающаяся прямая в своём первоначальном положении пересекает данную прямую), есть плоскость.
Действительно, согласно определению геометрического места, это предложение выражает следующие два факта: 1) прямая XY при своём перемещении всё время остаётся в плоскости ABC; 2) через каждую точку этой плоскости проходит прямая XY, параллельная АС и пересекающая АВ.
Теорема 6. Две различные плоскости, имеющие одну общую точку, имеют бесчисленное множество общих точек, образующих прямую линию.
Пусть Р и Q (черт. 5) — две плоскости, которые имеют общую точку А, и при этом, однако, не совпадают. Плоскость Q делит пространство на две области, которые назовём для краткости областью, лежащей над плоскостью, и областью, лежащей под плоскостью.
Через точку А проведём в плоскости Р произвольную прямую МАМ'. Возможно, что эта прямая целиком принадлежит плоскости Q; в таком случае доказано, что обе плоскости имеют общую прямую.
Если же этого не будет, то точка А де лит, как мы знаем, нашу прямую на две части, из которых одна расположена над плоскостью Q, другая под плоскостью Q.
Предположим для определённости, что точка М расположена над плоскостью Q, точка М' — под ней.Проведём в плоскости Р вторую прямую NAN', и если она не лежит в плоскости Q, то предположим, что точка N расположена над плоскостью Q, а точка N' — под плоскостью Q. Соединим точку М с N'.
Эта прямая, проходящая через две точки, расположенные по разные стороны от плоскости Q,, необходимо пересечёт эту плоскость в некоторой точке В, отличной от точки А (так как иначе точки М, А и N' лежали бы на одной прямой). Данные плоскости имеют две общие точки А и В и, следовательно, обе содержат целиком прямую АВ.
При этом они не могут иметь общей точки вне прямой АВ, так как иначе они не были бы различны.
В силу этого две различные плоскости могут либо пересекаться, и тогда их пересечением будет прямая линия, либо не иметь ни одной общей точки. В последнем случае говорят, что плоскости параллельны.
Если две плоскости пересекаются, то линия их пересечения делит каждую из этих плоскостей на две области (полуплоскости), расположенные по разные стороны от другой плоскости.
После того как рассмотрено взаимное расположение прямой и плоскости и взаимное расположение двух плоскостей , остаётся перечислить возможные случаи взаимного расположения двух прямых. Если эти прямые не совпадают между собой, то могут, очевидно, иметь место лишь следующие три случая:
1) прямые пересекаются;
2) прямые параллельны;
3) прямые не лежат в одной плоскости.
Надо заметить, что если две прямые проведены произвольно, то, вообще говоря, имеет место третий случай. Не пытаясь придать этому утверждению абсолютно точный смысл (последнее можно осуществить лишь с помощью соображений, выходящих за пределы элементарной геометрии), мы убедимся в его справедливости следующим образом: зададим произвольно одну прямую АВ и какую-либо точку С второй прямой. Если мы проведём вторую прямую через точку С совершенно произвольно, то эта прямая не будет, вообще говоря, лежать в плоскости ABC, так что обе прямые не будут лежать в одной плоскости.
Мы видим, в частности, что для доказательства параллельности двух прямых недостаточно, как это имело место в планиметрии, доказать, что они не имеют общей точки. Необходимо доказать, кроме того, что они лежат в одной плоскости.
Пересечение трёх плоскостей. Можно сказать, мы рассматривали вопрос об общих точках прямой и плоскости или двух плоскостей. Рассмотрим теперь общие то 'ки трёх плоскостей Р, Q и R.
Для этого обозначим через Dl линию пересечения плоскостей Q и R, если эти плоскости пересекаются. Так как общими точками плоскостей Q и R будут только точки прямой D1, то задача сводится к рассмотрению пересечения прямой D1 с плоскостью Р.
Можно также, обозначив через D2 линию пересечения плоскостей R и Р и через D3 линию пересечения плоскостей Р и Q (если эти плоскости пересекаются), свести задачу к рассмотрению пересечения прямой D2 с плоскостью Q или пересечения прямой D3 с плоскостью R.
Наконец, вместо того чтобы рассматривать пересечение трёх плоскостей, можно рассмотреть пересечение двух каких-либо из прямых D1, D2, D3 (в предположении, что эти две прямые существуют): всякая общая точка трёх плоскостей, очевидно, есть также общая точка прямых D1, и D2 и обратно.
Следовательно, если две прямые D1, и D2 существуют и пересекаются, то три плоскости имеют только одну общую точку.
Если эти прямые параллельны, то плоскости не имеют ни одной общей точки.
Если эти прямые совпадают, то плоскости имеют бесчисленное множество общих точек.
Обратно, если три плоскости пересекаются в одной точке (случай I), то эта точка есть общая точка прямых D1, D2 и D3.
Если они не имеют ни одной общей точки (случай II), то прямые D1, D2 и D3 (если они существуют) попарно параллельны между собой, так как, например, прямые D1 и D2 (если они существуют) лежат в одной плоскости, а именно в плоскости R, и не пересекаются.
Если три плоскости имеют бесчисленное множество общих точек и если три прямые D1, D2 и D3 существуют (что может иметь место только в случае III), то все три прямые совпадают.
Воспользуемся первой из трёх перечисленных прямых. Прежде всего рассмотрим случай, когда:
1) Плоскости Q и R пересекаются (по прямой D1) и прямая D1 пересекает плоскость Р.
Непосредственно видно, что:
I. При условии 1) три данных плоскости имеют единственную общую точку S (точку пересечения прямой D1 с плоскостью Р).
Если два условия, содержащиеся в 1), не выполняются, то могут иметь место только следующие случаи:
II. Три плоскости не имеют ни одной общей точки, если
2) плоскости Q и R пересекаются по прямой D1 и последняя параллельна плоскости Р; или если
3) плоскости Q и R параллельны; или если
4) плоскости Q и R совпадают между собой и параллельны плоскости Р.
III. Три плоскости имеют общую прямую, если
5) плоскости Q и R пересекаются по прямой D1, и последняя лежит в плоскости Р; или если
6) плоскости Q и R совпадают между собой и пересекают плоскость Р.
IV. Три плоскости совпадают всеми своими точками, если
7) они попарно совпадают между собой.
Перечисленные выше семь предположений полностью исчерпывают все возможные случаи, так как если прямая D1, существует, то она может занимать относительно плоскости Р только одно из трёх положений, указанных в пункте в начале (предположения 1), 2), 5)]; если же прямая D1, не существует, то плоскости Q и R могут быть параллельными (предположение 3)] или совпадать [предположения 4), 6), 7)].
Следовательно, предложения, обратные предыдущим, также справедливы. Так, например, если три плоскости не имеют ни одной общей точки, то необходимо имеет место одно из предположений 2), 3) или 4).
В нашем рассуждении можно было бы заменить прямую D1, и плоскость Р прямой D2 и плоскостью Q; при этом мы должны были бы обязательно прийти к тому же самому результату. Следовательно, если, поступая так, как было указано выше, мы увидели бы, что имеет место одно из предположений 2) или 3) или 4), то должно иметь место одно из тех же трёх предположений, если поменять ролями плоскости Р и Q и прямые D1, и D2.
Иначе говоря, если имеет место одно из предположений 2), 3) или 4), то имеет место и одно из следующих трёх предположений:
2') плоскости Р и R пересекаются по прямой D2 н последняя параллельна плоскости Q;
3') плоскости Р и R параллельны;
4') плоскости Р и R совпадают между собой и параллельны плоскости Q.
Прямая может занимать по отношению к плоскости одно из следующих положений: лежать в плоскости, иметь с плоскостью одну общую точку, т.е. пересекать эту плоскость, не иметь с плоскостью общих точек, т.е. быть параллельной этой плоскости. Тема прямая на плоскости, как и любые фигуры на плоскости, рассматривалась в планиметрии. Этот вопрос закрыт. Тема "пересечение прямой и плоскости" дает нам неколько вопросов:
.....Перпендикулярность прямой и плоскости (определение, признак, построение)
.....Угол между прямой и плоскостью (связь синусов)
.....Теорема о трех перпендикулярах (обратная)
.....Формула двойного проектирования (связь косинусов)
Осталось рассмотреть последний способ взаимного расположения прямой и плоскости
.....Параллельность прямой и плоскости (определение, признак)