Главная :: Геометрия :: Практика 27 :: Задача №272 Сторона основания правильной шестиугольной пирамиды равна 6 см, а двугранный угол при ребре основания - 30 градусов. Найти расстояние от центра основания до боковой грани.

Пирамида правильная, значит, высота падает в центр основания. Центр правильного шестиугольника есть точка пересечения диагоналей.
Из точки О опустим перпендикуляр ОК на АВ. Теперь соединим точку К и вершиной пирамиды. МК перпендикулярна АВ по теореме о трех перпендикулярах. Значит, угол МКО является линейным углом двугранного угла между боковой гранью АВМ и основанием АВСD и равен 30°. Другими словами АВ перпендикулярна двум прямым ОК и МК плоскости ОМК. По признаку перпендикулярности прямой и плоскости АВ перпендикулярна плоскости ОМК.
Вспомним теорему: Если плоскость проходит через прямую, перпендикулярную другой плоскости, то эти плоскости перпендикулярны, поэтому плоскости АМВ и ОМК перпендикулярны. В плоскости ОМК из точки О - центра основания - проведем перпендикуляр ОН на прямую КМ.
Теорема: Если в одной из двух перпендикулярных плоскостей провести перпендикуляр к их линии пересечения, то этот перпендикуляр будет перпендикулярен второй плоскости. Значит, прямая ОН перпендикулярна также и плоскости АМВ, а отрезок ОН является расстоянием от О до боковой грани АМВ.
Из прямоугольного треугольника ВОК найдем ОК, но сначала заметим, что угол ОВК в нем равен 60 градусов, гипотенуза ОВ равна стороне шестиугольника):
ОК=ОВЧsin60°
Рассмотрим прямоугольный треугольник МОК. В нем ОН - высота, проведенная к гипотенузе. Определим ОМ:
ОМ=ОКЧtg30°
Из прямоугольного треугольника НОК найдем НК:
НК=ОКЧcos30°
Прямоугольные треугольники НОК и МОК подобны по острому углу, поэтому: