Главная :: Геометрия :: Практика 26 :: Задача №261 Докажите, что из всех треугольников с данным основанием и данным углом при вершине максимальную площадь имеет равнобедренный треугольник.

Докажем это утверждение для данного равнобедренного треугольника АВС. Опишем около нашего треугольника окружность. Вспомним теорему: Вписанные углы, опирающиеся на равные дуги, равны. Из этой теоремы следует, что все треугольники с основанием АС и вершиной, принадлежащей этой окружности и лежащей выше прямой АС имеют равные углы, противолежащие основанию. Для примера возьмем треугольник АКС.
Т.к. высота ВТ треугольника АВС больше высоты КМ проведенной к основанию треугольника АКС, то из формулы площади треугольника S=ah/2 (АС/2 - const, ВТ>КМ) становится понятно, что площадь треугольника АВС больше площади треугольника АКС.
Для данного основания АС существуют еще некоторое количество треугольников, обладающих данным свойством. Они являются симметрией рассмотренных нами относительно прямой АС и доказательсвто будет аналогичным.