Главная :: Геометрия :: Практика 25 :: Задача №258 Докажите, что если
а) две высоты
б) две медианы
треугольника равны, то этот треугольник равнобедренный!

1. Рассмотрим прямоугольние треугольники АРС и АТС. Они равны по катету (АТ=РС - дано) и гипотенузе (АС - общая). Значит равны их соответствующие углы РРАС=РТСА. Если два угла треугольника равны, то он равнобедренный. Ч.т.д.
2. КМ является средней линией по определению. Средняя линия параллельна основанию. Параллельным переносом прямая КС перейдет в прямую MD. MD=КС, т.к. отрезки параллельных прямых, заключенные между некой (иной) парой параллельных прямых, равны. А значит MD=АМ, т.е. треугольник AMD равнобедренный. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны РMAD=РMDA. Далее РMDA=РАСК, т.к. являются соответственными при параллельных прямых КС и MD. Следовательно, РMAD=РАСК.
Треугольники АКС и АМС равны по двум сторонам и углу между ними. Значит равны их соответственные углы. РКАС=РАСМ. Если два угла треугольника равны, то он равнобедренный. Ч.т.д.