Главная :: Геометрия :: Практика 24 :: Задача №250 В равнобедренном треугольнике АВС со сторонами АВ=ВС=4 и АС=2 проведены высоты АА₁ ВВ₁. Прямая А₁В₁ пересекает прямую АВ в точке К. Найти длину АК!
Из главного свойства равнобедренного треугольника следует, что АВ₁=СВ₁=1
В прямоугольном треугольнике ВВ₁С найдем катет ВВ₁ по теореме Пифагора:

Тогда косинус угла СВВ₁ найдётся так:

а синус - 1/4
Найдем высоту АА₁. Для этого приравняем формулы площади:
1/2ЧВВ₁ЧАС=1/2ЧАА₁ЧВС, откуда

В прямоугольном треугольнике АА₁С найдем катет СА₁ по теореме Пифагора:

В прямоугольном треугольнике АА₁С медиана А₁В₁ равна половине гипотенузы, т.е. А₁В₁=1
Т.е. треугольник СА₁В₁ равнобедренный. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, поэтому:

РАВ₁К=РСВ₁А₁

Далее sinРКАВ₁=sin(180-РВАС)=sinРВАС=sinРС
Определим синус угла К
sinРК=sin(180°-(РКAВ₁+РАВ₁К))=sin(РКAВ₁+РАВ₁К)=sinacosb + cosasinb

Для треугольника АКВ₁ запишем теорему синусов
: