Главная :: Геометрия :: Практика 24 :: Задача №247 В треугольнике АВС сторона АВ разделена точкой Р пополам, а сторона АС разделена точкой М на отрезки АМ = 6 и МС = 3. Площадь треугольника АРМ равна 36. Найдите площадь треугольника АВС!

1. Выполним дополнительные построения. Параллельно стороне АС треугольника через точку Р проведем прямую РК. Из точки В опустим перпендикуляр ВТ на РК. Из точки Р опустим перпендикуляр РН на АС.

2. Прямоугольные треугольники АРН и РВТ равны по гипотенузе (АР=ВР по данным) и острому углу (РРАН=РВРТ как соответственные при параллельных прямых АС и РК и секущей АВ). Т.е. равны соответственные катеты этого треугольника ВТ и РН. Из этого следует, что ВТ равна половине высоты треугольника АВС, проведенной из точки В на сторону АС. РН=1/2h.

3. Из данных известно, что АМ=6, а АС=АМ+МС=9. Т.е. АМ=2/3ЧАС или АМ=2/3Ча

4. Запишем формулу площади треугольника АРМ:
S_АРМ=1/2ЧАМЧРН=1/2Ч2/3ЧаЧ1/2Чh=2/6Ч1/2ah=1/3S_ABC, следовательно,
S_АВС=3S_АРМ=108