Главная :: Геометрия :: Практика 21 :: Задача №211 Дан треугольник АВС. АВ = 8, ВС = 4, АС = 6. Найти площадь треугольника АВС, а также радиус вписанной, радиус описанной окружностей, высоту, проведённую из угла В, медиану и биссектрису, проведённые также из угла В.
Для нахождения площади применим формулу Герона, а для нахождения высоты ВН - формулу площади через половину произведения высоты и стороны:

Найдем медиану. Обозначим длины сторон, лежащих против вершин А,В и С, соответственно a, b, c.
Пусть BM - медиана треугольника АВС. Обозначим BМ=m, РBМА=a, тогда РСМВ=180^о - a
Из треугольников АBМ и СМВ по теореме косинусов будем иметь:

Складывая почленно два этих равенства и учитывая, что cos(180° - a)=-cosa, получаем:

Найдем биссектрису ВК. Обозначим BК=l, РАВК=b. Учитывая, что биссектриса делит угол пополам: РСВК=РАВК=b, а РАВС = РСВК+РАВК=2b. Воспользуемся таким свойством: биссектриса внутреннего угла треугольника делит противолежащую сторону на части, пропорциональные прилежащим сторонам (доказательство):

Применим в треугольниках АВК и СВК теорему косинусов:

Используя теорему косинусов в треугольнике АВС, найдем cosb: