Главная :: Геометрия :: Практика 20 :: Задача №203 Стороны треугольника ABC разделены точками MNP так, что AM:MB=BN:NC=CP:PA=1:4. Q - точка пересечения отрезков AN и MC. L - точка пересечения отрезков BP и MC. Площадь треугольника ABC=1. Найти площадь четырехугольника AQLP. Найти значения чисел p и q, если AQ=pAB+qAL

Из отношения BN:NC=1:4, получаем NC=4BN, а ВС=BN+NC=5BN или BN=1/4ЧNC и ВС=BN+NC=5/4ЧNC, откуда NC=4/5BC
Запишем формулу площади треугольника АВС:
S_ABC=1/2AHЧВС=1
S_ANC=1/2AHЧNC=1/2AHЧ4/5BC=4/5Ч1/2AHЧВС=4/5
Через точку N проведем прямую NK параллельно СМ. Из теоремы о том, что параллельные прямые отсекают на сторонах угла одинаковые отрезки, заключаем:
BM:KM=BC:NC=5BN:4BN=5/4, откуда КМ=4/5ЧВМ
Далее AQ:QN=АМ:КМ=АМ:4/5ЧВМ= =5/4ЧАМ:ВМ=5/4Ч1/4=5/16, откуда QN=16/5AQ, а AN=AQ+QN=21/5AQ, откуда AQ=5/21ЧAN
Запишем формулу площади треугольника ANC:
S_ANC=1/2CTЧAN=4/5
S_AQC=1/2CTЧAQ=1/2CTЧ5/21ЧAN
S_AQC=5/21Ч1/2CTЧAN=5/21ЧS_ANC=5/21Ч4/5=4/21

Через точку Р проведем прямую РЕ параллельно СМ. Из теоремы о том, что параллельные прямые отсекают на сторонах угла одинаковые отрезки, заключаем:
ЕМ:ЕА=СР:РА=1/4, откуда ЕА=4ЕМ, а АМ=АЕ+ЕМ=5ЕМ или ЕМ=1/5AM
По той же теореме ЕМ:ВМ=LP:BL или LP:BL=1/5AM:BM=1/5ЧAM:BM=1/5Ч1/4=1/20, откуда BL=20LP, а ВР=BL+LP=21LP, значит:
LP=1/21ЧBP

Из отношения CP:PA=1:4, получаем РА=4СР, а АС=РА+СР=5СР, откуда СР=1/5АС
Запишем формулу площади треугольника АВС:
S_ABC=1/2ВСЧАС=1
S_ВРС=1/2BSЧCР=1/2BSЧ1/5АС=1/5Ч1/2BSЧАС=1/5ЧS_ABC=1/5

Запишем формулу площади треугольника ВРС:
S_ВРС=1/2CRЧВР=1/5
S_LCP=1/2CRЧLP=1/2CRЧ1/21ЧBP=1/21Ч1/2CRЧВР=1/5Ч1/21=1/105

S_AQLP=S_AQC-S_LCP=4/21-1/105=19/105