Главная :: Геометрия :: Практика 11 :: Задача №117
Доказать, что сумма квадратов всех медиан треугольника составляет 3/4 от суммы квадратов его сторон
Для начала найдем длину медианы треугольника, например проведенной из вершины С. Обозначим длины сторон, лежащих против вершин А,В и С, соответственно a, b, c.
Пусть СМ - медиана треугольника АВС. Обозначим СМ=m, РСМА=a, тогда РСМВ=180о - a
Из треугольников АСМ и СМВ по теореме косинусов будем иметь:
Складывая почленно два этих равенства и учитывая, что cos(180о - a)=-cosa, получаем:
Теперь сделаем следующие обозначения:
Запишем полученное выражение для каждой медианы:
