Определение 10. Дугой называют часть окружности. Например дуга АВ на рисунке 4. Две точки на окружности задают две дуги, поэтому для точности добавляется третья точка между данными, например, говоря о дуге АС, мы можем иметь ввиду как большую из них так и меньшую, но стоит сказать "дуга ADC", и все становится понятно.
Определение 11. Центральным называется такой угол, вершина которого есть центр окружности (на рис4 угол АОВ). Этот угол также характеризуется дугой, на которую он операется.Теорема 2 Угол, вписанный в окружность, равен половине соответствующего центрального угла.
На рис4 рассмотрим угол АСВ и дугу АВ, на которую он опирается. Эта дуга характеризуется углом АОВ, как было сказано ранее. Т.е. мы должны доказать, что 2РАСВ = РАОВ
Рассмотрим треугольник АВС на рис4. Он вписан в данную окружность. В силу равенства радиусов треугольники АОС и ВОС равнобедренные, поэтому РАСО=РСАО и РВСО=РСВО, поэтому РС=РАСО+РВСО=РСАО+РСВО. В треугольнике АВС запишем сумму углов: РС+РВ+РА=180о разложим: РC+РCАО+РСВО+РОАВ+РОВА=2РС+РОАВ+РОВА=180о (1).
Теперь запишем сумму углов треугольнике АОВ: РАОВ+РОАВ+РОВА=180о (2), приравняем уравнения 1 и 2:
2РС+РОАВ+РОВА=РАОВ+РОАВ+РОВА, 2РС=РАОВ, ч.т.д.
Так можно доказать для любого угла, например АDВ. Надо отметить случай, когда угол опирается на диаметр или дугу длиной в пол окружности, он будет равен 90° (180°/2). Отсюда:Теорема 2.1. Если вписанный в окружность угол прямой (равен 90 градусов), то он опирается на диаметр. И обратно
Теорема 2.2. Если вписанный в окружность угол опирается на диаметр, то он прямой (равен 90 градусов).
Из теоремы 2 следует, что вписанные углы, опирающиеся на равные дуги, равны, т.к. равны половине одного и того же центрального угла. РADB=РАСВ=1/2РАОВ
Теорема 3 Вписанные углы, опирающиеся на равные дуги, равны.
Теорема 4. Величина угла с вершиной внутри круга равна полусумме угловых величин дуг, заключенных между его сторонами и их продолжениями.Теорема 5. Величина угла, образованного двумя секущими с вершиной вне круга, стороны которого пересекают этот круг, равна полуразности угловых величин большей и меньшей дуг, заключенных между его сторонами.
Доказательство теоремы 4:
Рассмотрим угол АМВ на рис6. Заметим, что a равен половине дуги AB, b - половине дуги KP. Зная теорему о внешнем угле треугольника: внешний угол треугольника равен сумме двух анутренних, с ним не смежных. Поэтому РАМВ=a+b=1/2(AB+KP), где АВ и КР - дуги. Мы доказали теорему 4. Теперь докажем теорему 5. Для этого рассмотрим угол АМВ на рис7, образованный двумя секущими МА и МВ. Так как a равен половине дуги KP, b - половине дуги AB, то по свойству внешнего угла треугольника получаем РАМВ=b-a=1/2(AB-KP)
Теорема 6. При пересечении хорды делятся на отрезки, произведения которых равны.Проведем хорды АС и ВD. Вписанные углы САВ и CDB опираются на дугу СВ, следовательно, РСАВ=РCDB. Аналогично РАСD=РABD. Таким образом, треугольнки АСК и DBК подобны (по двум углам) и КA/КD=КC/КB. Отсюда получаем КAЧКB=КCЧКD