Определение 2. Плоскости (полуплоскости), которые ограничивают двугранный угол, называются гранями двугранного угла.Определение 3. Линия пересечения граней двугранного угла называется ребром двугранного угла.
Определение 4. Линейным углом двугранного угла называется угол, образованный двумя полупрямыми, полученными при пересечении граней двугранного угла плоскостью, перпендикулярной ребру этого двугранного угла. Значение линейного угла данного двугранного угла есть значение данного двугранного угла.
Определение 5. Фигура, образованная тремя лучами (ребрами), исходящими из одной точки (вершины) и не лежащими в одной плоскости, и тремя частями плоскостей (гранями), заключенных между этими частями, нахывается трехгранным углом.
Определение 6. Грань трехгранного угла называется также плоским углом трехгранного угла.Определение 7. Двугранные углы, образованные гранями трехгранного угла, называются двугранными углами трехгранного угла.
Признаки равенства трехгранных углов:
Теорема 1. Если плоские углы двух трехгранных углов соответственно равны, то такие трехгранные углы равны.
Теорема 2. Если в трехгранных углах соответственно равны по два плоских угла и двугранные углы, заключенные между их гранями, то такие трехгранные углы равны.
Теорема 3. Если в трехгранных углах соответстввенно равны по два двугранных угла и плоские углы в (общей) прилежащей к ним грани, то такие трехгранные углы равны.
Теорема 4. Два трехгранных угла, у которых равны соответственные двугранные углы, равны между собой.
Теорема 5. Теорема синусов. Синусы двугранных углов трехгранного угла пропорциональны синусам плоских углов соответственно противороложных граней трехгранного угла.
Доказательство. Отложим на ребре а отрезок ОА=1 и проведем нормальное сечение АВС двугранного угла а. Из прямоугольного треугольника ОАВ находим АВ=tgРab; OB=secРab. Также имеем AC=tgРac, OC=secРac.Для ВС находим по теореме косинусов, примененной к треугольнику ВАС (для краткости плоские углы обозначаем просто ab, bc, ac, двугранные - a, b, c):
ВС2=tg2ab+tg2ac-2tgabЧtgacЧcosa.
Теперь применим теорему косинусов к треугольнику ВОС:
ВС2=sec2ab+sec2ac-2secabЧsecacЧcosbc.
Получим,
sec2ab+sec2ac-2secabЧsecacЧcosbc = tg2ab+tg2ac-2tgabЧtgacЧcosa
или
1+tgabЧtgacЧcosa=secabЧsecacЧcosbc.
Отсюда находим
cosbc = cosabЧcosac+sinabЧsinacЧcosa
Аналогично
cosac = cosabЧcosbc+sinabЧsinbcЧcosb
cosab = cosbcЧcosac+sinbcЧsinacЧcosc
Теорема 7. В трехгранном угле каждый плоский угол меньше суммы двух других.
Теорема 8. Сумма плоских углов трехгранного угла меньше четырех прямых.
Теорема 9. Если два плоских угла трехгранного угла равны, то перпендикуляр, проведенный к третей грани из точки принадлежащей общему ребру равных граней, упадет на биссектрису третьего плоскосго угла.
Возьмем на ребре а точку К. Из точки К опустим на грань bc перпендикуляр КН. Также опустим из точки К перпендикуляры КА и КВ на ребра b и c соответственно. Теперь соединим точку Н с точками А и В. Прямые НА и НВ соответственно перпендикулярны ребрам b и c по теореме о трех перпендикулярах.Треугольники СКА и СКВ прямоугольны и равны по гипотенузе и острому углу, поэтому КА=КВ.
Треугольники АКН и ВКН прямоугольны и равны по гипотенузе и катету. поэтому НВ=НА.
Треугольники АСН и ВСН равны по катету и гипотенузе, поэтому углы АСН и ВСН равны, а прямая СН является биссектрисой угла С.
Определение 8. Несколько плоскостей, пересекающихся в одной точке, разбивают пространство на части, кадая из которых может быть названа многогранным углом.