Теорема 1. Скрещивающиеся прямые не определяют плоскость.
Доказательство от противного. Пусть даны скрещивающиеся прямые а и b. Прямая а лежит в плоскости a, а прямая b пересекает плоскость a в точке А (АÏa). Пусть прямые а и b определяют плоскость β. Прямая а и
точка А одновременно принадлежит и плоскости a, и плоскости β, значит, плоскости a и β совпадают,
следовательно, все точки плоскости β принадлежат
плоскости a, Значит, прямая b принадлежит плоскости a, чего быть не может, так как по
условию плоскость a и прямая b пересекаются. Пришли к противоречию, значит,
прямые а и b не определяют
плоскость. Ч.т.д.
Для нахождения расстояния между скрещивающимися прямыми нужно:- Найти плоскость, перпендикулярную одной из скрещивающихся прямых;
- Ортогонально спроектировать вторую прямую на эту плоскость;
- Из точки пересечения плоскости первой прямой опустить перпендикуляр на проекцию второй прямой
СС' - расстояние м/у скрещивающимися прямыми а и b.
Определение 2. Углом между скрещивающимися прямыми называется угол между двумя прямыми, параллельными им и проходящими через произвольную точку.
Теорема 2. Синус угла между скрещивающимися прямыми равен отношению длины проекции одной из прямых на плоскость, к которой другая прямая перпендикулярна, к её длине.
Доказательство. Пусть а и с - скрещивающиеся прямые, a - плоскость перпендикулярная прямой а.
Для простоты доказательства построим такой
чертеж, где роль прямой а играет отрезок A1B1, прямой
с - АС, плоскости a - прямоугольник ВСС1B1. Сделаем параллельный перенос отрезка A1B1 в прямую
АВ. Угол между прямыми
а и с есть угол между прямыми
АВ и АС. Треугольник
АВС прямоугольный (по построению). В нем ВС – проекция АС на плоскость ВСС1B1. Синус
угла ВАС
равен отношению отрезка ВС к АС. Другими словами синус угла между скрещивающимися
прямыми а и с равен
отношению длины проекции одной прямой на плоскость,
в которой лежит другая, к длине этой же прямой.