Мы докажем ниже, что можно найти плоскость, перпендикулярную к данной прямой, и прямую, перпендикулярную к данной плоскости.Определение 2. Перпендикуляром, проведенным из данной точки к данной плоскости, называется отрезок, соединяющий данную точку с точкой плоскости и лежащий на прямой, перпендикулярной данной плоскости. Определение прямой, перпендикулярной данной плоскости, вы можете найти в теме перпендикулярность прямой и плоскости. Один из концов перпендикуляра, лежащий на плоскости, называется основанием перпендикуляра.
Определение 3. Наклонной, проведенной из данной точки к данной плоскости, называется отрезок, соединяющий данную точку с любой точкой взятой плоскости, неявляющейся основанием перпендикуляра, опущенного из данной точки на данную плоскость. Один из концов наклонной, лежащий на плоскости, называется основанием наклонной.
Определение 4. Отрезок, соединяющий основания перпендикуляра и наклонной, проведенных из одной точки, называется проекцией наклонной на плоскости (имеется ввиду данная плоскость и данная наклонная). На рисунке МВ - перпендикуляр; т.В - основание этого перпендикуляра; МА, МС - наклонные; т.А и т.С - соответственно основания этих наклонных; ВА, ВС - проекции.
Теорема 1. Прямая, перпендикулярная к плоскости, перпендикулярна ко всем прямым, лежащим на плоскости.
Больше того,
Теорема 1.1. Прямая, перпендикулярная к плоскости, перпендикулярна ко всем прямым, параллельным этой плоскости.
Например, прямая АВ, перпендикулярная к плоскости Р в точке А, перпендикулярна ко всякой прямой D, параллельной этой плоскости. Действительно, через точку А проходит прямая АС, параллельная прямой D и лежащая в плоскости Р; угол ВАС, которым измеряется угол между прямыми АВ и D, будет, по определению, прямым.
Обратно,
Теорема 1.2. Если прямая перпендикулярна ко всем прямым, лежащим в некоторой плоскости, то она не может быть параллельной этой плоскости следовательно, она пересекает плоскость и потому к ней перпендикулярна.
Из определения прямой, перпендикулярной к плоскости, непосредственно вытекают ещё такие следствия°:
Теорема 1.3. Плоскость Р, перпендикулярная к некоторой прямой, перпендикулярна ко всякой прямой, параллельной этой прямой; действительно, любая прямая плоскости Р, будучи перпендикулярна к первой прямой, перпендикулярна и ко второй.
Теорема 1.4. Прямая D, перпендикулярная к плоскости Р, перпендикулярна ко всякой плоскости, параллельной этой плоскости; действительно, любая прямая, лежащая в последней плоскости, параллельна плоскости Р и потому перпендикулярна к D.
Возможность найти взаимно перпендикулярные прямую и плоскость вытекает из следующей теоремы:
Теорема 2. Геометрическое место точек, равноудалённых от двух точек В и B1, есть плоскость, перпендикулярная к прямой ВВ1 и проходящая через середину отрезка ВВ1.
Доказательство. Пусть точка А - середина отрезка ВВ1. Точки искомого геометрического места, лежащие в какой-либо плоскости, проходящей через прямую BB1 (черт. 16), лежат на перпендикуляре к прямой BB1 проведённом в этой плоскости через точку А.
Следовательно, искомое геометрическое место точек образовано всеми этими перпендикулярами. Если С и С'- две точки искомого геометрического места (черт. 17), то треугольники ВСС' и В1СС' равны, как имеющие по три соответственно равные стороны (ВС = В1С; BC' = B1C'; сторона СС' - общая). Совместим эти треугольники и обозначим через С" какую-либо точку прямой СС'. Если каждая из точек С и С' остаётся общей вершиной обоих треугольников и вершина В1 совпадает с вершиной В, то B1С" совпадает с ВС"; следовательно, В1С" = ВС".
Итак, любая точка С" прямой СС' принадлежит искомому геометрическому месту. Искомое геометрическое место обладает тем свойством, что любая прямая, соединяющая две его точки, целиком принадлежит этому геометрическому месту; искомое геометрическое место содержит три точки, не лежащие на одной прямой, и, с другой стороны, в пространстве существуют точки (например В), к нему не принадлежащие. Отсюда следует, что искомое геометрическое место есть плоскость и эта плоскость, очевидно, перпендикулярна к прямой BB1 в точке А.
Примечание. Точки пространства, более близкие к точке В, чем к точке В1, лежат от найденного геометрического места по ту же сторону, как и точка В.
Действительно, в какой-либо плоскости, проходящей через BВ1, например в плоскости BВ1С, точки, лежащие ближе к точке В, чем к точке B1, расположены относительно прямой АС в той полуплоскости, которая содержит точку В.
Теорема 3. (признак перпендикулярности прямой и плоскости) Для, того, чтобы какая-либо прямая, была перпендикулярна к плоскости, достаточно, чтобы она была перпендикулярна к двум прямым, лежащим в этой плоскости и проходящим через точку пересечения прямой плоскостью.
Доказательство.
Пусть а – прямая перпендикулярная прямым b и с, принадлежащим плоскости a. А – точка пересечения
прямых. В плоскости a
через точку А проведем прямую d, не совпадающую
с прямыми b и с. Теперь в плоскости a проведем прямую k, пересекающую прямые d и с и не проходящую через точку А.
Точки пересечения соответственно D, В и С. Отложим на прямой а в разные стороны от точки А равные отрезки АА1 и АА2.
Треугольник А1СА2 равнобедренный, т.к. высота АС является так же и медианой (признак 1), т.е. А1С=СА2. Подобно в треугольнике А1ВА2 равны стороны А1В и ВА2.
Следолвательно, треугольники А1ВС и А2ВС равны по третьему признаку Поэтому равны углы А1ВD и А2ВD. Значит, равны и треугольники А1ВD и А2ВD по первому признаку. Поэтому А1D и А2D. Отсюда треугольник А1DА2 равнобедренный по определению. В равнобедренном треугольнике
А1DА2 DА – медиана (по построению), а
значит и высота, то есть угол А1АD прямой, а значит прямая а
перпендикулярна прямой d. Таким образом можно доказать, что
прямая а перпендикулярна любой прямой
проходящей через точку А и принадлежащей плоскости a. Из
определения следует, что прямая а перпендикулярна
плоскости a.Теорема 3.1. Для того, чтобы прямая D была перпендикулярна к плоскости Р, достаточно, чтобы она была перпендикулярна к двум прямым D1 и D2, не параллельным между собой и лежащим в этой плоскости или ей параллельным.
В самом деле, если провести через какую-либо точку прямой D прямые, параллельные прямым D1 и D2, то эти две не совпадающие между собой прямые определяют плоскость, параллельную плоскости Р и перпендикулярную к D.
Теорема 4. Через данную точку О пространства можно про
вести плоскость, перпендикулярную к прямой D и притом только одну.
Эта плоскость есть геометрическое место прямых, перпендикулярных к данной прямой и проходящих через данную точку.Предположим, во-первых, что точка О лежит на прямой D. В этом случае, если мы отложим на этой прямой от точки О два равных от резка ОА и ОВ, то геометрическое место точек, равноудалённых от точек А и В, будет плоскость, перпендикулярная к прямой АВ в точке О. Эта плоскость будет геометрическим местом перпендикуляров, проведённых к прямой АВ через точку О, следовательно, эта плоскость будет единственной плоскостью, перпендикулярной к данной прямой и проходящей через данную точку.
Предположим, во-вторых, что точка О лежит вне прямой D (черт. 18); проводим через эту точку прямую D', параллельную прямой D, и плоскость А перпендикулярную к прямой D'. Плоскость Р будет искомой плоскостью и при том единственной, так как любая плоскость, перпендикулярная к примой D', перпендикулярна и к прямой D и обратно. Кроме того, всякий перпендикуляр к прямой D проходящий через точку О, лежит в этой плоскости Р (как перпендикуляр к прямой D'), и обратно, всякая прямая плоскости Р перпендикулярна к прямой D. Таким образом, наше предложение доказано полностью. Примечание. В силу того смысла, который мы придали выражению перпендикулярные прямые, будет уже неправильным сказать, что через данную точку, лежащую вне данной прямой, можно провести только одну прямую, к ней перпендикулярную; напротив, существует бесчисленное множество таких прямых.
Если же мы будем говорить о перпендикуляре к прямой D, проходящем через точку О, лежащую вне этой прямой, то речь всегда бу дет идти, если не будет оговорено противное, о том перпендикуляре который был рассмотрен в пункте 328, т. е. о том перпендикуляре, который пересекает прямую D. В частности, под расстоянием точки О от прямой D понимают всегда отрезок этого перпендикуляра, заключённый между его основанием Н (точкой пересечения с прямой D) и точкой О. Точка Н называется, как и в планиметрии, ортогональной проекцией (проще, проекцией) точки О на прямую D.
Теорема 5. Две плоскости, перпендикулярные к одной и той же прямой, параллельны.
Две плоскости Р и O, перпендикулярные к одной и той же прямой XY, параллельны; действительно, если через какую-либо точку плоскости Р провести плоскость, параллельную плоскости Q, то эта плоскость будет также перпендикулярна к прямой XY и потому совпадёт с плоскостью Р.
Теорема 5.1. Прямая и плоскость, перпендикулярные к одной и той же прямой, параллельны.
Плоскость Р и прямая D, перпендикулярные к одной и той же прямой XY, параллельны; действительно, если через какую-либо точку плоскости Р провести прямую, параллельную прямой D, то она будет перпендикулярна к прямой XY и, следовательно, будет лежать в плоскости Р.
Теорема 6. Через данную точку О пространства можно провести прямую, перпендикулярную к данной плоскости Р, и притом только одну.
Проведём в плоскости Р (черт. 19) две пересекающиеся прямые D1 и D2. Перпендикуляр к плоскости, проходящий через точку О, должен быть перпендикулярен как к прямой D1, так и к прямой D2, и, следовательно, будет одновременно лежать в двух плоскостях O1 и O2,
проходящих через точку О и перпендикулярных соответственно к этим двум прямым. Обратно, общая прямая этих двух плоскостей будет перпендикулярна к плоскости Р. Но плоскости O1 и O2 пересекают плоскость Р по двум различным прямым, так как в плоскости Р одна и та же прямая не может быть одновременно перпендикулярной к двум пересекающимся прямым D1 и D2. Таким образом, эти плоскости различны; так как они имеют общую точку, то они пересекаются только по одной прямой, которая и является искомым перпендикуляром и притом единственным.
Теорема 7. Две прямые, перпендикулярные одной и той же плоскости, параллельны между собой.
Имеем плоскость a и две перпендикулярные ей прямые а и b. Докажем, что а || b.Через точки пересечения прямыми плоскости проведем прямую с. По признаку получаем а ^ c и b ^ c. Через прямые а и b проведем плоскость (две параллельные прямые определяют плоскость и притом только одну). В этой плоскости мы имеем два параллельные прямые а и b и секущую с. Если сумма внутренних односторонних углов равна 180о, то прямые параллельны. У нас как раз такой случай - два прямых угла. Поэтому а || b.
Теорема 8. Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и другой.
Доказательство. Пусть а1 и а2 - две параллельные прямые и a - плоскость, перпендикулярна прямой а1. Докажем, что эта плоскость перпендикулярна и прямой а2.Проведем через точку А2 пересечения прямой а2 с плоскостью a произвольную прямую с2 в плоскости a. Проведем в плоскости a через точку А1 пересечения прямой а1 с плоскостью a прямую с1, параллельную прямой с2. Так как прямая а1 перпендикулярна плоскости a, то прямые а1 и с1 перпендикулярны. А по теореме 1 параллельные им пересекающиеся прямые а2 и с2 тоже перпендикулярны. Таким образом, прямая а2 перпендикулярна любой прямой с2 в плоскости a. А это значит, что прямая а2 перпендикулярна плоскости a. Теорема доказана.
Теорема 9 Если из точки, лежащей вне плоскости, провести к этой плоскости перпендикуляр и различные наклонные, то:
- перпендикуляр короче всякой наклонной;
- две наклонные, одинаково удалённые от основания перпендикуляра, равны;
- из двух наклонных, не одинаково удаленных от основания перпендикуляра, длиннее та, основание которой дальше отстоит от основания перпендикуляра.
1°. Из точки О (черт. 20) проведём к плоскости Р перпендикуляр ОН и наклонную ОА. Последняя длиннее перпендикуляра ОН, как наклонная к прямой НА, к которой прямая ОН перпендикулярна.
2°. Наклонные ОА н ОВ, обладающие тем свойством, что НА=НВ, равны в силу равенства треугольников ОНА и ОНВ, углы которых при точке Н равны (как прямые) и заключены между соответственно равными сторонами.
3°. Если наклонные ОА и ОС обладают тем свойством, что НА < НС, то отложим на НС отрезок НВ = НА. Наклонная ОВ будет равна наклонной ОА (2°) и меньше наклонной ОС.
СЛЕДСТВИЕ. Из последней части предыдущей теоремы следует, что две равные наклонные одинаково удалены от основана перпендикуляра. В связи с 2° это предложение показывает, что
Теорема 9.1 Геометрическое место точек плоскости, расположенных на постоянном расстоянии от точки О пространства (черт. 20), есть окружность, центром которой служит основание Н перпендикуляра, опущенного из точки О на плоскость, потому что точки плоскости, равноудалённые от точки О, равноудалены и от точки Н, и обратно.
Определение 5. Расстоянием точки от плоскости называется длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на плоскость (в силу предыдущей теоремы эта длина есть кратчайший путь от точки до плоскости).
Теорема 10. Две параллельные плоскости всюду отстоят одна от другой на одном и том же расстоянии. Расстояния АА' и ВВ' двух точек А и В плоскости Р от параллельной ей плоскости Р' (черт. 21) равны как отрезки параллельных прямых, заключённые между параллельными плоскостями. Точно так же прямая и плоскость, параллельные между собой, на всём протяжении отстоят друг от дpугa на одном и том же расстоянии
Теорема 11. Геометрическое место прямых, проходящих через данную точку O составляющих равные углы с двумя данными полупрямыми, выходящими из той же точки, есть плоскость, проходящая через биссектрису угла, образованного двумя данными полупрямыми, и через перпендикуляр к плоскости, в которой лежат эти полупрямые, проведённый через их общую точку.
Пусть ОА п ОВ-две данные полупрямые (черт. 22): отложим на них равные отрезки ОА = ОВ. Если прямая ОМ образует с ОА и ОВ равные
углы, то треугольники ОАМ и ОВМ будут равны (как имеющие по равному углу, заключённому между соответственно равными сторонами), и точка М будет одинаково удалена от точек А и В. Следовательно, она лежит в плоскости Р, перпендикулярной к отрезку АВ и проходящей через его середину.
Эта плоскость проходит через биссектрису угла АОВ и через перпендикуляр, проведённый через точку О к плоскости ОА, так как эти две прямые, очевидно, принадлежат искомому геометрическому месту.Примечание. Полупрямая ОМ' образует с полупрямой ОА угол меньший или больший, нежели с полупрямой ОВ, смотря по тому, будет ли точка М', лежащая на ней, ближе или дальше от точки А, нежели от точки В, и, следовательно, смотря по тому, будет ли эта полупрямая лежать от плоскости Р по ту сторону, как полупрямая ОА, или по ту сторону, как полупрямая ОВ.
Построение прямой перпендикулярной данной плоскости из точки, взятой вне этой плоскости.