Теорема. Площадь ортогональной проекции плоской фигуры на плоскость есть
произведение площади самой фигуры на косинус угла между плоскостью фигуры и
плоскостью проекции.
Доказательство. Докажем теорему на примере треугольника.
Пусть дана плоскость a и треугольник АВС. Рассмотрим общий случай, когда
плоскость a
и плоскость треугольника лежат под некоторым острым углом друг к другу. Для
упрощения решения плоскость a проведем через одну из сторон треугольника, например
сторону АВ. Значит после проектирования точки А и В передут в себя, а точка С
переедет в точку К. В треугольнике АВС проведем высоту СН из вершины С. В
треугольнике АВК соединим точки К и Н. Прямая КН перпендикулярна прямой АВ (КН
– проекция прямой СН на плоскость a, СН ^ АВ,Þ КН ^ АВ по теореме о трех перпендикулярах). Таким образом,
угол СНК – двугранный угол между плоскостями, обозначим его за b.
Выразим площадь треугольников АВС и АВК и найдем их отношение:
|